Ортоцентр и его свойства

Точка H — ортоцентр треугольника ABC.

1. Все углы тр-ка ABC острые. Докажите, что зеленые углы равны, оранжевые углы равны.

2. Случай тупоугольного тр-ка ABC.

3. Докажите, что ∠AHC = 𝜋 - ∠ABC.

4. Докажите, что оранжевые углы  равны.

5. Докажите, что высоты треугольника ABC являются биссектрисами ортотреугольника (нарисован синим цветом) тр-ка ABC .

6.

На каждой стороне треугольника ABC построены внешним образом равносторонние треугольники AC₁B, BA₁C, CB₁A.

Докажите, что AA₁ = BB₁ = CC₁.

Два равносторонних треугольника ABK и KCD расположены с одной стороны прямой AD и имеют только одну общую точку K. Точки M и N — середины отрезков AC и BD соответственно. Докажите, что треугольник MNK равносторонний.

Четырехугольник ABCD — квадрат. Точки K, M, N, L расположены на сторонах этого квадрата BC, CD, DA, AB соответственно, причем AL = BK = CM = DN. Докажите, что четырехугольник, образованный при пересечении прямых AK, BM, CN, DL, является квадратом.

На сторонах AB и BC квадрата ABCD взяты соответственно точки M и K такие, что DK является биссектрисой угла ∠MDC.
Докажите, что DM = AM + KC.

ABCDEF — правильный шестиугольник. Точки N и K — середины сторон CD и DE соответственно. Докажите, что площади треугольника △ABM и четырехугольника MNDK равны.

ABCDEF — правильный шестиугольник. Точки N и K — середины сторон CD и DE соответственно. Найдите угол между прямыми AN и BK.